Zmienna losowa

Zmienna losowa – Wikipedia, wolna encyklopedia

Zmienna losowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, szukaj

Zmienna losowa – funkcja przypisująca zdarzeniom elementarnym liczby. Intuicyjnie: odwzorowanie przenoszące badania prawdopodobieństwa z niewygodnej przestrzeni probabilistycznej do dobrze znanej przestrzeni euklidesowej. Zmienne losowe to funkcje mierzalne względem przestrzeni probabilistycznych.

Zmienną losową jest na przykład funkcja opisującą wagę lub wzrost ciała wylosowanego z pewnej populacji osobnika. Zjawiskom o charakterze losowym, którym nie można w oczywisty sposób przypisać jakiejś miary liczbowej, można przypisywać liczby według pewnego klucza tak, aby możliwe było ich porównywanie w interesującym nas aspekcie. Najprostszymi przykładami są: moneta (np. orłu przypisujemy zero, a reszce jedynkę) i kostka do gry (każdej ściance przypisujemy liczbę wylosowanych oczek). Innymi przykładami mogą być: stan techniczny urządzenia, czy wiedza ucznia (oceniana w skali od 1 do 6).

Spis treści

Definicja

Zmienną losową (rzeczywistą) na przestrzeni probabilistycznej (\Omega, \mathcal F, P) nazywamy dowolną rzeczywistą funkcję mierzalną \xi \colon \Omega \to \mathbb{R}, tzn. funkcję ξ spełniającą warunek

\xi^{-1}(B)\in \mathcal{F} dla każdego zbioru borelowskiego B\subseteq \mathbb{R}.

Tradycyjnie zmienne losowe zapisuje się za pomocą wielkich liter z końca alfabetu, np. X,Y,Z lub liter greckich ξ,η, odmiennie niż zwykle zapisuje się funkcje.

Uogólnienia

Rozważa się również zmienne losowe o wartościach w abstrakcyjnych przestrzeniach topologicznych (żeby analogicznie mówić o przeciwobrazach zbiorów borelowskich danej przestrzeni topologicznej) - i tak, na przykład: zmienne losowe o wartościach zespolonych, nazywa się zmiennymi losowymi zespolonymi. Odwzorowanie mierzalne określone na przestrzeni Ω o wartościach w przestrzeni RN nazywa się wektorem losowym. Wektor losowy ma postać X(\omega) = \left(X_1(\omega), X_2(\omega), \dots, X_N(\omega)\right), gdzie X_i\; dla i = 1, \dots, N są zmiennymi losowymi rzeczywistymi.

Często rozważa się zmienne losowe o wartościach w przestrzeniach polskich ze względu na ich dobre własności.

Przykłady

  • Niech Ω będzie zbiorem wszystkich możliwych wyników rzutu dwoma kośćmi do gry, składa się on z 36 możliwych wyników. Przypisanie każdej kostce liczby wyrzuconych oczek i zobrazowanie wyniku w postaci pary (i, j) \in R^2, gdzie 1 \leqslant i, j \le 6 jest zmienną losową.
Zmiennymi losowymi są również następujące funkcje: „iloczyn liczby oczek wyrzuconych na obu kostkach”, „suma liczby oczek wyrzuconych na obu kostkach”, „liczba oczek wyrzuconych na pierwszej z kostek”.

Zobacz też